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Goniometrische Gleichungen

#1
Hallo Zusammen!

Ich habe jetzt schon überall im netz geschaut, aber ich verstehe rein gar nichts davon! Wir sollen uns selber erarbeiten, wie man Goniometrische Gleichungen löst. Das ist das erste Problem. Ich weiß, dass es folgende Gleichungen gibt, die irgendwie genutzt werden, um es zu vereinfachen oder so.
Das wären dann glaube ich folgende (hab ich im Internet gefunden):

sin²x + cos²x = 1
tanx = sinx / cosx
sin2x = 2 * sinx * cosx
cos2X = cos²x - sin²x

Mein Problem ich weiß nicht, wie man so was löst! Könnte mir das vllt. jemand erklären?

Auch sollen wir unser Wissen dann an folgenden Gleichungen testen:

sin x = 2 tan x
1 - sin x * cos x = 0
sin (2x-1) = cos (2x-1)

Da ich nicht verstehe wie das ganze geht, habe ich natürlich auch schwierigkeiten bei diesen Gleichungen.

Ich hätte mir bei sin x = 2 tan x folgendes überlegt:

sin x = 2 tan x

sin x = 2 * sin x / cos x

sin x * cos x = 2 * sin x

cos x = 2 * sin x / sin x

cos x = 2

==> Das wäre ja dann nicht lösbar, oder? Weil der Wertebereich von cos x liegt ja bei [-1;1]. Aber eigentlich sollen wir ja alle Lösungen im Intervall 0 <= x <= Pi finden....
Ich kann mir daher nicht vorstellen, dass das wirklich richtig ist, weil die anderen Aufgaben habe ich auch versucht, und da kam immer raus, das es nicht lösbar ist.

Also, ich stehe wirklich vor einer Sackgasse!
Über eine Erklärung würde ich mich sehr freuen und auch Anhaltspunkte würden mir bestimmt schon weiterhelfen!

Mit freundlichen Grüßen
Plitsch
 

Kildare

Einfacher Vertebrat
#2
Die Gleichungen, die du genannt hast, nutzt man, um die Winkelfunktionen anzugleichen. Wenn du also cos und tan in einer Gleichung hast, sie so umzustellen, dass du nur noch cos oder tan oder auch sin hast. Es gibt dafuer noch einige mehr, z.B.:
sin² x = tan² x / (1+tan² x)

Dazu gehören auch die Quadrantenbeziehungen/Periodizitäten, Additionstheoreme und Summen/Differenz/Faktorwinkelgleichungen.
Im Grunde sind es nur Umgestellte und Vereinte Gleichungen von den Grundgleichungen:
sin x = v / r, cos x = u / r, tan x = sin x / cos x, cot = cos x / sin x

Wenn du magst kann ich dir mal ne umfangreichere Liste aufschreiben.

Nur mal um dir bei der ersten Aufgabe zu helfen.

sin x = 2 tan x //Ich will auf sin x/tan x=cos x=2 hinaus. Die ist aber nur bei x <> k*pi (Division durch Null) und x <> (2k+1)*pi/2 (tanx = {}) moeglich. Das zweite ist auszuschliessen, da die Gleichung sonst unschluessig waere und das erste pruefe ich in einer Fallunterscheidung.

Fall 1 x <> k * pi
sin x / tan x = 2
cos x = 2
x = {}

Fall 2 x = k * pi
sin (k*pi) = 2 tan (k*pi)
0 = 0
w.a. -> x = {k*pi}

--> x = {k*pi}

Achte also bei allen Aufgaben auf Faelle, in denen du durch Null dividieren könntest. (Wie bei Gleichungen, bei denen du durch x teilst... Was wäre wenn x = 0 ist?)
Versuch dich nochmal an den anderen Aufgaben und achte darauf, nicht mit Null zu dividieren.
 
#3
Ich bin dir ja ecjt Dankbar über deine Antwort, aber ich verstehe nur Bahnhof.
Vllt. sollte ich ja erwähnen, dass ich nicht gerade die Mathespezialistin bin?

LG
Plitsch
 

Kildare

Einfacher Vertebrat
#4
Ich versuche dir die drei Aufgaben mal genau zu erklaeren.

Generell gilt: Du musst es anstreben, die Gleichung so umzuformen, dass du sie quasi in den Taschenrechner eintippen kannst. D.h. es muss etwas mit sinx = TERM rauskommen. (Bzw. cosx = TERM, tanx = TERM usw.)
Falls nicht bekannt: Ein Term ist (mathematisch inkorrekt aber verstaendlich) das, was auf einer Seite einer Gleichung steht, vom Gleichheitszeichen ausgehend.

1. Aufgabe:
sin x = 2 tan x
Ich weiss, dass tanx = sinx/cosx ist. Daraus folgt: cosx = sinx/tanx.
Ich koennte nun also schreiben: sinx/tanx = 2 --> cosx = 2
Allerdings darf ich nur durch tanx teilen, wenn tanx nicht Null ist. Bsp.: 5 / 0 = ???
Also gibt es Zwei Moeglichkeiten:

1. Fall: tanx ≠ 0
sinx/tanx = 2
Nun wende ich also oben genannte Formel cosx = sinx/tanx an.

cosx = 2
Da der Wertebereich von cosx allerding -1<=cosx<=1 ist, ist dies eine "falsche Aussage" und die Loesungsmenge fuer x ist leer.

f.A. -> x = {}

2. Fall: tanx = 0
Fuer diesen Fall kann ich direkt ein x bestimmen, da die Bedingung fuer diesen Fall tanx = 0 ist.

tanx = 0

x = k * pi, k element Z
Dieses Ergebnis kann ich nun einfach einsetzen.

sin (k*pi) = 2 tan (k*pi), k element Z

0 = 0
Das ist eine "wahre Aussage" und zeigt, dass x = k * pi, k element Z, ist.

w.a. -> x = {k*pi}, k element Z
Nun fuehrt man die Ergebnisse des 1. und des 2. Falles zusammen und erhaelt:

--> x = {k*pi}, k element Z


2. Aufgabe:
1 - sinx cosx = 0

sinx cosx = 1
Nun kann man entweder durch sinx oder durch cosx teilen. Aber wieder nur dann, wenn sinx (bzw. cosx) nicht 0 ist. Zuerst werde ich durch sinx teilen.

1. Fall: sinx ≠ 0
cosx = 1/sinx
Wir wissen, dass sinx den Wertebereich -1 <= sinx <= 1 hat. Deshalb hat 1/sinx den Wertebereich 1 <= 1/sinx und 1/sinx <= -1 (fuer sinx ≠ 0). cosx hat jedoch den Wertebereich -1 <= cosx <= 1. 1/sinx liegt also ausserhalb des Wertebereiches von cosx: 1/sinx <= -1 <= cosx <= 1 <= 1/sinx. Einzige Ausnahme |1/sinx| = |cosx| = 1. Hierfuer muesste |sinx| = 1 sein. Dann waere x = (2k+1)*pi/2, k element Z. Bei x = (2k+1)*pi/2, k element Z, ist cosx = 0 und 0 = 1 (wenn ich x = (2k+1)*pi/2, k element Z, in die obere Gleichung einsetze) ist eine falsche Aussage. Somit:

f.A. -> x = {}

2. Fall: sinx = 0
Fuer diesen Fall kann ich direkt ein x bestimmen, da die Bedingung fuer diesen Fall sinx = 0 ist.

sinx = 0

x = k * pi, k element Z
Dieses Ergebnis kann ich nun einfach einsetzen.

1 - sin(k * pi) cos(k * pi) = 0, k element Z

1 - 0 * 1 = 0

1 = 0

f.A. -> x = {}

Das ganze kann man nun nochmal identisch mit cosx ≠ 0 durchfuehren und die Faelle dafuer auflisten und man wird feststellen, dass auch diese kein Ergebnis bringen. Somit ist diese Aufgabe nicht loesbar, bzw. hat kein Ergebnis.

--> x = {}


3. Aufgabe:
sinx(2x-1)=cos(2x-1)
Hier gibt es Zwei Moeglichkeiten; ich werde allerdings nur eine erklaeren und die andere lediglich nennen, da sie mir zu aufwaendig ist.

1. (nur genannte) Moeglichkeit:
Mithilfe folgender Gleichungen formt man die Ausgangsgleichung um:
sin(a+b)=sina*cosb + cosa*sinb,
sin(2x)=2*sinx*cosx=(2*tanx)/(1+tan²x).
Diese Variante ist extrem Rechenfehler anfaellig und langwierig.

2. (vertretbare) Moeglichkeit:
Ich will zuerst das 2x-1 vorlaeufig aus den Augen haben. Ich substituiere es also mit t.

subst.: t = 2x-1

sin t = cos t
Sollte cos t Null sein, waere der naechste Schritt nicht moeglich. Hier muesste also eigentlich eine Fallunterscheidung hin. Ich lasse sie weg, da sie auf eine f.A. fuehrt.

sin t/cos t = 1

tan t = 1

t = (4k+1)*pi/4, k element Z
Das muss nun resubstituiert werden:

resubst.: 2x-1 = (4k+1)*pi/4, k element Z

2x = (4k+1)*pi/4+1, k element Z

x = [(4k+1)*pi/4+1]/2, k element Z

x = (4k+1)*pi/8+1/2, k element Z

--> x = {(4k+1)*pi/8+1/2}, k element Z


Ich hoffe, dass ich dir damit mehr helfen konnte. Solltest du konkrete Fragen haben, stelle sie einfach. Allerdings wuesste ich im Moment nicht, wie ich ES so auf die Ferne besser im Allgemeinen erklaeren koenne.
 
#5
Vielen, vielen Dank für deine Mühe!!

Jetzt habe ich es verstanden. (hat nur ein bisschen gedauert :eek: )

Nochmal vielen Dank, dass du dir die ganze Mühe gemacht hast und das alles eingetipselt hast!

Liebe Grüße
Charlie